בנם של טטיאנה וולדימיר. אנטון נולד ביום א' בתשרי תשל"ט (2.10.1978) בלבוב שבאוקראינה (ברית המועצות לשעבר).
אנטון גדל באוקראינה, ובהיותו בן שבע-עשרה החליט לעלות ארצה, ארבע שנים אחרי שאביו ולדימיר עלה לארץ במסגרת העלייה הגדולה מברית המועצות לשעבר. באוגוסט 1995, הגיע אנטון באונייה מאודסה שבאוקראינה לבדו והתגורר יחד עם אביו בדירה בתל אביב.
מהר מאוד למד אנטון את השפה העברית. שנה לאחר עלייתו ארצה הוא החליט לנסות ולהתקבל ללימודים אקדמיים, החל ללמוד במכינה אקדמית ובד בבד התכונן לבחינה הפסיכומטרית. מאחר שלא היה מרוצה מן הציון שקיבל בבחינה, החליט לא להירשם בשלב זה ללימודים גבוהים ובמקום זאת, להתגייס למשמר הגבול במשטרת ישראל, שם גם שירת חברו הטוב אלכס.
אנטון אמר לחברים ולבני המשפחה כי הוא רוצה לתרום למדינה וכי התרומה המוצלחת ביותר תהיה במסגרת שירות במשמר הגבול.
בהיותו בן יחיד לאב חד-הורי, אנטון לחץ מאוד על אביו שיחתום עבורו על אישור להתגייס ליחידה קרבית. לאחר החתימה על האישור הוא התגייס למשמר הגבול, בשנת 1997.
בתקופת שירותו, עבר אנטון קורס חובשים ואחריו שירת כחובש וכלוחם באזור ירושלים.
בתום השירות במשמר הגבול עבד אנטון בקיוסק בתל אביב ובמקביל נרשם ללימודים באוניברסיטה. האב סיפר שאנטון הצטיין במכירות והיה מוכר לעוברים ושבים בקיוסק ובסביבה - הוא היה בחור גדול וחזק, ששבה את לב כולם.
אנטון התקבל ללימודים באוניברסיטת בר-אילן, אך החליט כי הוא מעדיף ללמוד תכנות במכללה וסיים שתי שנות לימוד. בסיומן הפסיק את לימודיו, כיוון שרצה להמשיך בשירות במשמר הגבול.
אנטון התגייס לשירות קבע במשמר הגבול ביוני 2002 ושירת בירושלים יחד עם ארבעה חברים קרובים שלו. החברים הקרובים ששירתו עם אנטון שומרים על קשר עם אביו, ומקפידים להגיע לאזכרה מדי שנה.
אנטון היה ידוע כאדם עם חוש הומור רב, הוא אהב מאוד את שירותו במשמר הגבול ונחשב בעיני המשרתים איתו למקצועי ואיכותי מאוד. אביו סיפר שמשמר הגבול היה הבית השני שלו וכשהיה חוזר לביתו ממשימה מיוחדת, היה מספר בגאווה על הפעילות שלו ושל חבריו.
בתקופה זו הכיר אנטון דרך חבריו את אנה, שהתגוררה בנצרת עלית, והתאהב בה. בשנת 2007 הם נישאו בחתונה אזרחית בפראג, ובאוגוסט של אותה השנה נולד בנם דניאל.
באותה תקופה עבר אנטון לשרת באוגדת אזור יהודה ושומרון (איו"ש). אביו סיפר כי תנאי השירות באוגדה זו היו טובים יותר, והקלו עליו לפרנס את משפחתו. במקביל לשירותו באוגדה, היה עובד מדי פעם כשומר וכמאבטח כדי להוסיף לפרנסתו.
רב-סמל ראשון אנטון סולימקו נפל בעת מילוי תפקידו ביום י"ד בתמוז תשס"ט (6.7.2009) באזור מכמש. בן שלושים בנפלו. הוא הובא למנוחות בבית העלמין הצבאי בקריית שאול, תל אביב. אנטון הותיר אחריו אישה ובן - אנה ודניאל, הורים - טטיאנה וולדימיר, שתי אחיות - אנה ומריה ואח - ולדימיר.
אנטון מונצח בבסיס משמר הגבול איו"ש בבית אל, באתר ההנצחה לכל חללי משמר הגבול בצומת עירון ובאנדרטת חללי המשטרה אשר במכללת השוטרים בבית שמש.
שני סרטונים הופקו לזכרו של אנטון בידי אנה אחותו וניתנים לצפייה באתר יוטיוב. באחד הסרטונים מושמע השיר "לבכות לך" מאת אביב גפן ובביצועו עם תמונות משפחתיות וטקסט שכתבה אנה: "היית האבא, הבן, הבעל, האח, הדוד, האחיין, הנכד והבן דוד הכי טוב שיש. אנחנו נזכור אותך תמיד! ואתה יודע שבסוף אנחנו ניפגש. למה הלכת? מקווים שיהיה לך טוב איפה שאתה. ואל תשכח, אנחנו אוהבים אותך ונמשיך תמיד לאהוב גם כשאתה כבר לא איתנו".